問題番号008　　解答編




上図のような１辺の長さがaの正五角形ABCDEを考える。
ただし、点Oは正五角形ABCDEの外心及び内心とする。


（１）　△ABDにおいて
∠DABの二等分線とBDとの交点Fとおく。
∠AOB=72° より ∠ADB=36°。　AD=BD より ∠DAB=∠DBA=72°。
∠DAF=∠FAB=(1/2)∠DAB=36°。
∠AFB=180°-(∠FAB+∠DBA)=72°。
よって△ADFは DF=AF の二等辺三角形、△AFBは AF=AB の二等辺三角形となる。
したがって AB=AF=DF=a。

また、△ABD∽△BFAでもある。
BF=x とおくと、AB：BD=BF：FA 、a：（a+x）=x：a 。
よって x² +ax =a² 、x² +ax -a² =0 。
x＞0より x=｛√(5)-1｝a/2 。
したがって BD= a +｛√(5)-1｝a/2 =｛√(5)+1｝a/2 。

ABの中点をMとすると、△MBDにおいて
∠DMB=90° 、∠MDB=(1/2)∠ADB=18° 、∠MBD=72° 、
MB=a/2 、BD=｛√(5)+1｝a/2 なので、
sin18°=MB/BD =[a/2]/[｛√(5)+1｝a/2] =1/｛√(5)+1｝ =｛√(5)-1｝/4 。
cos36°=1-2sin²18° =1 -｛6-2√(5)｝/8 =1 -｛3-√(5)｝/4 =｛√(5)+1｝/4 。
よって cos36°=｛√(5)+1｝/4 。


（２）　外接円の半径を r₁ 、内接円の半径を r₂ とする。
△OABの面積について考えると、
△OAB=(1/2)sin72° OA OB =(1/2)sin72° r₁² 。
また △OAB=(1/2) AB OM =(1/2)ar₂ 。
よって (1/2)sin72° r₁² =(1/2)ar₂ 、sin72° r₁² =ar₂ 、r₂ =sin72° r₁² /a 。

さらに、正弦定理より a/(sin36°) =2r₁ 、a=2r₁sin36° 。
したがって、r₂ =(sin72°/ 2r₁sin36°)r₁² =(sin72°/ 2sin36°)r₁ となる。
内接円の面積は πr₂² =(sin²72°/ 4sin²36°)πr₁² 、外接円の面積は πr₁² な ので、
内接円の面積は外接円の面積の (sin²72°/ 4sin²36°)倍である。

また（1）より、 sin18°=｛√(5)-1｝/4 、cos36°=｛√(5)+1｝/4 なので、
sin²72° =cos²18° =1-sin²18° =1-｛3-√(5)｝/8 =｛5+√(5)｝/8 。
sin²36° =1-cos²36° =1-｛3+√(5)｝/8 =｛5-√(5)｝/8 。
したがって (sin²72°/ 4sin²36°) =(1/4)[｛5+√(5)｝/8]/[｛5-√(5)｝/8] =(1/4)｛30+10√(5)｝/20 =｛3+√(5)｝/8 。
よって内接円の面積は外接円の面積の｛3 +√(5)｝/8 倍である。


答 え：（1）cos36°=｛√(5)+1｝/4  ，（2）｛3+√(5)｝/8 倍

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