問題番号006　解答編




（i） １回で終了するとき
１通りしかないので確率はとなる。


（ⅱ）２回で終了するとき
１回で終了しない確率はで、そこか らゴールする確率がな ので、
×＝　　　確率 はと なる。


（ⅲ）３回で終了するとき
１回で終了しない確率は、２回目で 終了しない確率がで、 そこからゴールする確率がなので
××＝　　確率はとなる。



同様にしてｎ回で終了するときを考えると、
ｎ-1回目まで終了することはなく、ｎ回目に終了するので
×＝　　した がってｎ回で終了する確率はとなる。



１回からｎ回までの回数の期待値をとすると、

で ある。　　　　　　　　＝ｒ　とお くと・・・



ｎは無限まで存在するので、の極限を調 べる。




ここで、
（ｎ+6）（5/6）＾ｎ≦7・（8/7）＾（ｎ-1）・（5/6）＾ｎ＝（49/8）・{（8/7）・（5/6）}＾ｎ＝（49/8）（20/21）＾ｎ
すなわち　（ｎ+6）（5/6）＾ｎ≦（49/8）（20/21）＾ｎ　（ｎは自然数）・・・・・・①　と推測できる。

----証明----
[1]　ｎ＝1のとき　①において、（左辺）＝（35/6）　（右辺）＝（35/6）
　　よって、ｎ＝1のとき①は成り立つ。

[2]　ｎ＝ｋ（ｋは自然数）のとき　①が成り立つと仮定すると、
　　　（ｋ+6）（5/6）＾ｋ≦（49/8）（20/21）＾ｋ　・・・・・・②

　　  ｎ＝ｋ+1のとき　①において、
　　（左辺）＝{（ｋ+1）+6}・（5/6）＾（ｋ+1）＝{5（ｋ+7）/6}・（5/6）＾ｋ＝{5（ｋ+7）/6（ｋ+6）}・（ｋ+6）・（5/6）＾ｋ
　　　　　　 ≦{5（ｋ+7）/6（ｋ+6）}・（49/8）・（20/21）＾ｋ＝{5（ｋ+7）/6（ｋ+6）}・（21/20）・（49/8）・（20/21）＾（ｋ+1）
　　　　　　 ＝{7（ｋ+7）/8（ｋ+6）}・（49/8）・（20/21）＾（ｋ+1）≦（49/8）（20/21）＾（ｋ+1）＝（右辺）
　　
　　∵　{7（ｋ+7）/8（ｋ+6）}において、
　　　ｋは自然数であるから　ｋ≧1　⇔　7（ｋ+7）≧8（ｋ+6）　⇔　{7（ｋ+7）/8（ｋ+6）}≦1　であることより。

　　よって、ｎ＝ｋ+1のときにも①は成り立つ。

[1] [2]　より、すべての自然数ｎに対して①が成り立つ。　　　①（証明終了）　


また明らかに、（5/6）＾ｎ＜（ｎ+6）（5/6）＾ｎ　である。　　　∵　ｎ+6＞1より
∴　（5/6）＾ｎ＜（ｎ+6）（5/6）＾ｎ≦（49/8）（20/21）＾ｎ　・・・・・・③

③式において、第1辺の極限は0、第2辺の極限も0である。
したがって、ハサミウチの原理より　＝0。

よって＝ ６－０＝６　　極限値は６をとるので、

求める期待値は ６回 である。



追記（2009年3月10日）：
解答をご覧になった方、本当に申し訳ございません。
2008年3月12日に発表した解答に不備があったので、赤字の部分を付け足しました。
発表当時、極限のハサミウチをまだ習っていなかったので、曖昧な解答となってしまいました。

お手数かけてすみませんが間違いなどを発見された方は、
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