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問題番号006 解答編




(i) 1回で終了するとき
1通りしかないので確率は
となる。


(ⅱ)2回で終了するとき
1回で終了しない確率はで、そこか らゴールする確率がな ので、
×   確率 はと なる。


(ⅲ)3回で終了するとき
1回で終了しない確率は、2回目で 終了しない確率がで、 そこからゴールする確率がなので
××  確率はとなる。



同様にしてn回で終了するときを考えると、
n-1回目まで終了することはなく、n回目に終了するので
×  した がってn回で終了する確率はとなる。



1回からn回までの回数の期待値をとすると、

で ある。        =r とお くと・・・



nは無限まで存在するので、の極限を調 べる。




ここで、
(n+6)(5/6)^n≦7・(8/7)^(n-1)・(5/6)^n=(49/8)・{(8/7)・(5/6)}^n=(49/8)(20/21)^n
すなわち (n+6)(5/6)^n≦(49/8)(20/21)^n (nは自然数)・・・・・・① と推測できる。

----証明----
[1] n=1のとき ①において、(左辺)=(35/6) (右辺)=(35/6)
  よって、n=1のとき①は成り立つ。

[2] n=k(kは自然数)のとき ①が成り立つと仮定すると、
   (k+6)(5/6)^k≦(49/8)(20/21)^k ・・・・・・②

    n=k+1のとき ①において、
  (左辺)={(k+1)+6}・(5/6)^(k+1)={5(k+7)/6}・(5/6)^k={5(k+7)/6(k+6)}・(k+6)・(5/6)^k
       ≦{5(k+7)/6(k+6)}・(49/8)・(20/21)^k={5(k+7)/6(k+6)}・(21/20)・(49/8)・(20/21)^(k+1)
       ={7(k+7)/8(k+6)}・(49/8)・(20/21)^(k+1)≦(49/8)(20/21)^(k+1)=(右辺)
  
  ∵ {7(k+7)/8(k+6)}において、
   kは自然数であるから k≧1 ⇔ 7(k+7)≧8(k+6) ⇔ {7(k+7)/8(k+6)}≦1 であることより。

  よって、n=k+1のときにも①は成り立つ。

[1] [2] より、すべての自然数nに対して①が成り立つ。   ①(証明終了) 


また明らかに、(5/6)^n<(n+6)(5/6)^n である。   ∵ n+6>1より
∴ (5/6)^n<(n+6)(5/6)^n≦(49/8)(20/21)^n ・・・・・・③

③式において、第1辺の極限は0、第2辺の極限も0である。
したがって、ハサミウチの原理より =0。

よって= 6-0=6  極限値は6をとるので、

求める期待値は 6回 である。



追記(2009年3月10日):
解答をご覧になった方、本当に申し訳ございません。
2008年3月12日に発表した解答に不備があったので、赤字の部分を付け足しました。
発表当時、極限のハサミウチをまだ習っていなかったので、曖昧な解答となってしまいました。

お手数かけてすみませんが間違いなどを発見された方は、
どうぞトップページの下部メールアイコンからよろしくお願い致します。




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